Posted 2021-11-19Updated 2023-04-07

Stokes Parameters

在我学习微波背景辐射的早期，为了预防自己不停地温习斯托克斯参量的定义，写了这篇小记。

EM Radiation

我们通常用电矢量代表电磁波。真空中电磁波的电场方程满足

\[\left( \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\vec{E}=0 \]

其平面波解为

\[\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\varphi)} \]

这是一个数学解，只取实部作为物理解。有时常把常数相位因子 \(e^{i\varphi}\) 并入振幅中，则

\[\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} \]

注意，这个时候 \(\vec{E}_0\) 已是复数。

Polarizaiton

为了研究电磁波的偏振态，我们将电矢量分为两个分量

\[ E_x=E_{0x}\cos(kz-\omega t +\varphi_x)\\ E_y=E_{0y}\cos(kz-\omega t +\varphi_y)\]

这是一个用于展示电磁波偏振椭圆的脚本

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

E0X = 1.0
E0Y = 1.0
PHIX = 0.0 * np.pi / 180
PHIY = 45.0 * np.pi / 180
OMEGAxT = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
EX = E0X * np.cos(-OMEGAxT + PHIX)
EY = E0Y * np.cos(-OMEGAxT + PHIY)

fig, ax = plt.subplots()
for EX_, EY_ in zip(EX, EY):
    ax.cla()
    ax.set_xlim([-1, 1])
    ax.set_ylim([-1, 1])
    ax.grid(zorder=0)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.axvline(0, c='k')
    ax.axhline(0, c='k')
    ax.plot(EX, EY, c='lightgray', lw=7, zorder=1)
    ax.arrow(0, 0, EX_, EY_, fc='r', ec='r',
            width=0.02, length_includes_head=True,
            head_width=0.08, head_length=0.1,
            zorder=2)
    plt.pause(0.01)

上面所提到的电磁波平面解总是处于线偏振、圆偏振或者椭圆偏振中。在自然界中，电矢量可以朝着任意方向做运动。这些光的相位、偏振方向各不相同，呈现随机分布，所以我们看到的这些辐射的总和是没有特定偏振方向的，这就是自然光。

这里所讨论的都是标量偏振光，还有矢量偏振光，它在横截面上每一点的偏振状态都不一样，并不是均匀分布的。最典型的矢量偏振光是轴对称矢量光，它是 Helmholtz 方程在柱坐标下的特解。