CMB Power Spectra
这是偏数学的背景辐射功率谱介绍，参考 Tojeiro 2006 和 Bartlett 2001 文章，最早是 Bond & Efstathiou 1987 这篇文章提出的。
Definition
因为微波背景辐射是各向同性的，以温度扰动为例，所以不同方向处的温度扰动可以写成下面这样的形式
\[\color{black}\begin{aligned}C(\bm{n},\bm{n}^\prime)&=\langle T(\bm{n})T(\bm{n}^\prime) \rangle_\mathrm{ens}=C(\theta)\\ &=\frac{1}{4\pi}\sum_\ell (2\ell+1)C_\ell P_\ell(\cos\theta)=\sum_{\ell m}C_\ell Y_{\ell m}^*(\bm{n})Y_{\ell m}(\bm{n}^\prime)\end{aligned}\]
其中 \(\bm{n}\cdot\bm{n}^\prime=\cos\theta\)，将 \(T(\bm{n})\) 球谐展开，可以得到
\[\color{black}C_\ell=\langle a_{\ell m}^* a_{\ell m}^{} \rangle_\mathrm{ens}\]
Scaling
\[\color{black}D_\ell=\frac{\ell(\ell+1)}{2\pi}C_\ell\]
This is useful for two reasons: it is logarithmic average of \(D_\ell\) that gives the variance of the data and (therefore) for scale-invariant theories of structure formation, \(D_\ell\) is roughly constant at large scales.
Cosmic Variance
我们实际只能观测到一张天图，也就是一个随机实现，所以我们能够得到的功率谱实际上是
\[\color{black}\hat{C}_\ell=\frac{1}{2\ell+1}\sum_m a_{\ell m}^* a_{\ell m}^{}\]
所以这会天然地引入误差。
Phase
在从天图提取功率谱的同时，我们会丢失相位信息。
CMB Power Spectra